Может ли судья назначить административное наказание ниже низшего?

Да может, но при соблюдении определенных условий.

В соответствии с ч.2.2 ст. 4.1 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях (далее – КоАП РФ) предусмотрено, что при наличии исключительных обстоятельств, связанных с характером совершенного административного правонарушения и его последствиями, личностью и имущественным положением привлекаемого к административной ответственности физического лица, судья, орган, должностное лицо, рассматривающие дела об административных правонарушениях либо жалобы, протесты на постановления и (или) решения по делам об административных правонарушениях, могут назначить наказание в виде административного штрафа в размере менее минимального размера административного штрафа, предусмотренного соответствующей статьей или частью статьи КоАП РФ, в случае, если минимальный размер административного штрафа для граждан составляет не менее десяти тысяч рублей, а для должностных лиц - не менее пятидесяти тысяч рублей.

Законодатель не указывает, какие именно обстоятельства отнесены к исключительным. Вместе с тем, анализ судебной практики позволяет утверждать, что таковыми являются объективные обстоятельства, связанные с тяжёлым имущественным положением привлекаемого к ответственности лица (постановление Московского городского суда от 05.05.2015 N 4а-0330/15), низком уровне его дохода и совершении правонарушении впервые (постановление Брянского областного суда от 16.02.2015 по делу N 44-А-3/2015).

Отметим, что в соответствии со ст. 26.11 КоАП РФ судья, члены коллегиального органа, должностное лицо, осуществляющие производство по делу об административном правонарушении, оценивают доказательства по своему внутреннему убеждению, основанному на всестороннем, полном и объективном исследовании всех обстоятельств дела в их совокупности, в связи с чем каждое лицо, привлекаемое к ответственности, вправе заявить о наличии в деле исключительных обстоятельств, предусмотренных ч.2.2 ст. 4.1 КоАП РФ, доводы о которых должны будут быть рассмотрены судом, уполномоченных органом или должностным лицом.